Hệ tọa độ – Wikipedia tiếng Việt

Hệ tọa độ – Wikipedia tiếng Việt
link hỏng] vật lý. Nó gán ba số (được gọi là tọa độ) cho mọi điểm trong không gian Euclide: khoảng cách xuyên tâm r, góc cực θ ( φ ( ρ (r .Hệ tọa độ cầu được sử dụng phổ cập trong. Nó gán ba số ( được gọi là tọa độ ) cho mọi điểm trong khoảng trống Euclide : khoảng cách xuyên tâm, góc cực theta ), và góc vị trí phi ). Ký hiệu rho ) thường được sử dụng thay cho

Trong hình học, hệ tọa độ là một hệ thống sử dụng một hoặc nhiều số, còn gọi là các tọa độ, để xác định duy nhất vị trí của các điểm hoặc các phần tử hình học khác trên một đa tạp, chẳng hạn như không gian Euclide. [1] [2] Thứ tự của các tọa độ là rất quan trọng và chúng đôi khi được xác định bằng vị trí của chúng trong một bộ dữ liệu có thứ tự và đôi khi bằng một chữ cái, như trong “trục x“. Các tọa độ được coi là số thực trong toán học sơ cấp, nhưng có thể là số phức hoặc các phần tử của một hệ trừu tượng hơn như một vành giao hoán. Việc sử dụng một hệ tọa độ cho phép các bài toán trong hình học được chuyển thành các bài toán về số và ngược lại ; đây là cơ sở của hình học giải tích. [3]

Các hệ tọa độ thường thì[sửa|sửa mã nguồn]

Ví dụ đơn giản nhất của hệ tọa độ là việc xác định các điểm trên một đường với các số thực bằng cách sử dụng trục số. Trong hệ thống này, một điểm tùy ý O (điểm gốc ) được chọn trên một đường thẳng cho trước. Tọa độ của một điểm P được định nghĩa là khoảng cách có dấu từ O đến P, trong đó khoảng cách có dấu là khoảng cách được coi là dương hoặc âm tùy thuộc vào phía nào của đoạn thẳng P nằm. Mỗi điểm được cho một tọa độ duy nhất và mỗi số thực là tọa độ của một điểm duy nhất. [4]
giữa[liên kết hỏng]

Hệ tọa độ Descartes[sửa|sửa mã nguồn]

Ví dụ nguyên mẫu của một hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc được chọn và tọa độ của một điểm được lấy làm khoảng cách đến các đường thẳng trên. Trong không gian ba chiều, ba mặt phẳng trực giao lẫn nhau được chọn và ba tọa độ của một điểm là khoảng cách có dấu đến mỗi mặt phẳng.[5] Điều này có thể được tổng quát để tạo ra n tọa độ cho bất kỳ điểm nào trong không gian Euclid n chiều.

Tùy thuộc vào hướng và thứ tự của những trục tọa độ, mạng lưới hệ thống ba chiều hoàn toàn có thể là một mạng lưới hệ thống thuận tay phải hoặc một mạng lưới hệ thống thuận tay trái. Đây là một trong nhiều hệ tọa độ .

Hệ tọa độ cực[sửa|sửa mã nguồn]

Một hệ tọa độ phổ biến khác cho mặt phẳng là hệ tọa độ cực. [6] Một điểm được chọn làm cực và một tia từ điểm này được lấy làm trục cực. Đối với một góc θ cho trước, có một đường thẳng qua cực có góc với trục cực là θ (đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục đến đường thẳng). Khi đó, có một điểm duy nhất trên đường thẳng này có khoảng cách có dấu từ điểm gốc là r đối với số r đã cho. Đối với một cặp tọa độ đã cho (r , θ) có một điểm duy nhất, nhưng một điểm bất kỳ được biểu diễn bằng nhiều cặp tọa độ. Ví dụ, (r , θ), (r , θ+2π) và (-r , θ+π) là các tọa độ cực của cùng một điểm. Cực được biểu diễn bằng (0, θ) với bất kỳ giá trị nào của θ.

Hệ tọa độ trụ và cầu[sửa|sửa mã nguồn]

Hệ tọa độ trụ

Có hai phương pháp phổ biến để mở rộng hệ tọa độ cực thành ba chiều. Trong hệ tọa độ trụ, một tọa độ z có cùng ý nghĩa như trong tọa độ Descartes được thêm vào tọa độ cực rθ tạo ra một bộ ba (r, θ, z ). [7] Hệ tọa độ cầu tiến thêm một bước nữa bằng cách chuyển đổi cặp tọa độ trụ ( rz ) sang tọa độ cực ( ρφ ) cho một bộ ba ( ρθφ ). [8]

Hệ tọa độ giống hệt[sửa|sửa mã nguồn]

Một điểm trong mặt phẳng có thể được biểu diễn trong các tọa độ đồng nhất bởi một bộ ba ( xyz ) trong đó x/zy/z là tọa độ Descartes của điểm. [9] Điều này giới thiệu một tọa độ “bổ sung” vì chỉ cần hai tọa độ để xác định một điểm trên mặt phẳng, nhưng hệ thống này hữu ích ở chỗ nó đại diện cho bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng xạ ảnh mà không cần sử dụng vô cực. Nói chung, một hệ tọa độ thuần nhất là một trong đó chỉ các tỷ lệ của các tọa độ là có ý nghĩa chứ không phải các giá trị thực.

Các hệ tọa độ thường được sử dụng khác[sửa|sửa mã nguồn]

Một số hệ tọa độ thông dụng khác là :
Có nhiều cách diễn đạt đường cong không có tọa độ, sử dụng phương trình nội tại sử dụng những đại lượng không bao giờ thay đổi như độ cong và độ dài cung. Bao gồm những hệ tọa độ sau :

  • Phương trình Whewell liên hệ độ dài cung và góc tiếp tuyến .
  • Phương trình Cesàro liên quan đến độ dài và độ cong của cung.

Tọa độ của những đối tượng hình học[sửa|sửa mã nguồn]

Hệ tọa độ thường được sử dụng để xác định vị trí của một điểm, nhưng chúng cũng có thể được sử dụng để chỉ định vị trí của các hình phức tạp hơn như đường thẳng, mặt phẳng, hình tròn hoặc hình cầu. Ví dụ, tọa độ Plücker được sử dụng để xác định vị trí của một đường trong không gian. [10] Khi có nhu cầu, loại hình được mô tả được sử dụng để phân biệt loại hệ tọa độ, ví dụ, thuật ngữ tọa độ đường được sử dụng cho bất kỳ hệ tọa độ nào xác định vị trí của đường.

Có thể xảy ra rằng các hệ tọa độ cho hai tập hợp các hình hình học khác nhau là tương đương nhau về mặt phân tích của chúng. Một ví dụ về điều này là hệ thống tọa độ thuần nhất cho các điểm và đường trong mặt phẳng xạ ảnh. Hai hệ thống trong một trường hợp như thế này được cho là nhị nguyên. Hệ thống nhị nguyên có đặc tính là các kết quả từ hệ thống này có thể được chuyển sang hệ thống khác vì các kết quả này chỉ là những cách giải thích khác nhau của cùng một kết quả phân tích; đây được gọi là nguyên tắc đối ngẫu. [11]

Bởi vì thường có nhiều hệ tọa độ có thể khác nhau để mô tả các hình hình học, điều quan trọng là phải hiểu chúng có liên quan như thế nào. Các mối quan hệ như vậy được mô tả bằng các phép biến đổi tọa độ đưa ra công thức cho tọa độ trong một hệ thống dưới dạng tọa độ trong một hệ thống khác. Ví dụ, trong mặt phẳng, nếu tọa độ Descartes (xy) và tọa độ cực (rθ) có cùng gốc tọa độ và trục cực là trục x dương, khi đó phép biến đổi tọa độ từ cực sang tọa độ Descartes được cho bởi x = r cosθy = r sinθ .

Với mỗi tuy nhiên ánh từ khoảng trống đến chính nó, hai hệ tọa độ hoàn toàn có thể được link với nhau :

  • sao cho tọa độ mới của ảnh của mỗi điểm giống với tọa độ cũ của điểm gốc (công thức của ánh xạ là nghịch đảo của công thức đối với phép biến đổi tọa độ)
  • sao cho tọa độ cũ của ảnh của mỗi điểm giống với tọa độ mới của điểm gốc (công thức của ánh xạ cũng giống như công thức của phép biến đổi tọa độ)

Ví dụ, trong trục số 1D, nếu ánh xạ là một phép tịnh tiến từ 3 sang phải, thì ánh xạ tiên phong chuyển dời điểm gốc từ 0 đến 3, để tọa độ của mỗi điểm trở nên nhỏ hơn 3, trong khi ánh xạ thứ hai vận động và di chuyển điểm gốc từ 0 đến − 3, để tọa độ của mỗi điểm tăng thêm 3 nữa .

Đường / đường cong và mặt phẳng / mặt phẳng tọa độ[sửa|sửa mã nguồn]

Các mặt tọa độ của những tọa độ ba chiều paraboloid .

Trong không gian hai chiều, nếu một trong các tọa độ trong hệ tọa độ điểm được giữ không đổi và tọa độ khác được phép thay đổi, thì đường cong kết quả được gọi là đường cong tọa độ. Trong hệ tọa độ Descartes, các đường cong tọa độ trên thực tế là các đường thẳng, do đó nó được gọi là các trục tọa độ. Cụ thể, chúng là các đường song song với một trong các trục tọa độ. Đối với các hệ tọa độ khác, đường cong tọa độ có thể là đường cong tổng quát. Ví dụ, các đường cong tọa độ trong tọa độ cực thu được bằng cách giữ r không đổi là các đường tròn có tâm tại gốc tọa độ. Hệ tọa độ mà một số đường cong tọa độ không phải là đường được gọi là hệ tọa độ cong. [12] Quy trình này không phải lúc nào cũng có ý nghĩa, chẳng hạn không có đường cong tọa độ nào trong một hệ tọa độ đồng nhất .

Trong không gian ba chiều, nếu một tọa độ được giữ không đổi và hai tọa độ còn lại được phép thay đổi, thì bề mặt tạo thành được gọi là mặt tọa độ. Ví dụ, các mặt tọa độ nhận được bằng cách giữ ρ không đổi trong hệ tọa độ cầu là các mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ. Trong không gian ba chiều giao của hai mặt tọa độ là một đường cong tọa độ. Trong hệ tọa độ Descartes, chúng ta có thể nói về các mặt phẳng tọa độ .

Tương tự, siêu bề mặt tọa độ là không gian (n − 1) chiều do cố định một tọa độ duy nhất của hệ tọa độ n chiều. [13]

Bản đồ tọa độ[sửa|sửa mã nguồn]

Khái niệm về bản đồ tọa độ, hay biểu đồ tọa độ là trọng tâm của lý thuyết về đa tạp. Bản đồ tọa độ về bản chất là một hệ tọa độ cho một tập con của một không gian nhất định với đặc tính là mỗi điểm có đúng một tập tọa độ. Chính xác hơn, một bản đồ tọa độ là một phép đồng phôi từ một tập con mở của không gian X đến tập con mở của Rn. [14] Thông thường chúng ta không thể cung cấp một hệ tọa độ nhất quán cho toàn bộ không gian. Trong trường hợp này, một tập hợp các bản đồ tọa độ được ghép lại với nhau để tạo thành một atlas bao trùm không gian. Một không gian được trang bị một tập bản đồ như vậy được gọi là một đa tạp và cấu trúc bổ sung có thể được xác định trên một đa tạp nếu cấu trúc nhất quán nơi các bản đồ tọa độ chồng lên nhau. Ví dụ, một đa tạp khả vi là một đa tạp trong đó sự thay đổi tọa độ từ bản đồ tọa độ này sang bản đồ tọa độ khác luôn là một hàm khả vi.

Tọa độ dựa trên khuynh hướng[sửa|sửa mã nguồn]

Trong hình học và động học, hệ tọa độ được sử dụng để miêu tả vị trí ( tuyến tính ) của những điểm và vị trí góc của những trục, mặt phẳng và vật rắn. [ 15 ] Trong trường hợp thứ hai, hướng của hệ tọa độ thứ hai ( thường được gọi là ” cục bộ ” ), cố định và thắt chặt với nút, được xác lập dựa trên hệ tọa độ thứ nhất ( thường được gọi là hệ tọa độ ” toàn thế giới ” hoặc ” quốc tế ” ). Ví dụ, hướng của một phần cứng hoàn toàn có thể được trình diễn bằng một ma trận xu thế, mà gồm có trong 3 cột của nó là tọa độ Descartes của 3 điểm. Những điểm này được sử dụng để xác lập hướng của những trục của mạng lưới hệ thống cục bộ ; chúng là những đầu của ba vectơ đơn vị chức năng thẳng hàng với những trục đó .

Toạ độ trong địa lý[sửa|sửa mã nguồn]

Hệ tọa độ địa lý được cho phép toàn bộ mọi điểm trên Trái Đất đều hoàn toàn có thể xác lập được bằng hai tọa độ của hệ tọa độ cầu tương ứng với trục quay của Trái Đất. Toạ đồ gồm có kinh độ và vĩ độ

Tọa độ toán học[sửa|sửa mã nguồn]

Một hệ tọa độ (hay bản đồ) trên một tập mở

U

{\displaystyle U}

U của một đa tạp

M

{\displaystyle M}

M là một lớp

n

{\displaystyle n}

n hàm số thực

x

1

,

,

x

n

:
U

R

{\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R} }

{\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R} } thỏa mãn một số tính chất nhất định (thí dụ như hàm

ϕ
:
U

R

n

{\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{n}}

{\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{n}} phải làm một phép đồng phôi hay một phép vi phôi bậc

k

{\displaystyle k}

k, hay một phép vi phôi trơn lên ảnh của nó). Có nhiều hệ tọa độ được dùng trong toán học:

Không gian 2 chiều[sửa|sửa mã nguồn]

  • Hệ tọa độ Descartes: xác định vị trí của một điểm trên một mặt phẳng được cho trước bằng một cặp số tọa độ ( x, y ) { \ displaystyle ( x, y ) }{\displaystyle (x,y)}
  • Hệ tọa độ cực: là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được gửi bán kính vào góc phương vị của nó. Nó chỉ mô tả được một phần của mặt phẳng hai chiều (xem tính duy nhất của tọa độ cực).

Không gian 3 chiều[sửa|sửa mã nguồn]

  • Hệ tọa độ Descartes.
  • Hệ tọa độ cầu: là một hệ tọa độ cho không gian 3 chiều mà vị trí một điểm được xác định bởi 3 số: khoảng cách, góc nâng và góc kinh độ.
  • Hệ tọa độ đồng nhất trong không gian ba chiều có thể được coi là kết quả của phép nhúng

    R

    3


    P

    R

    3

    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to P\mathbb {R} ^{3}}

    Xem thêm: Get on là gì

    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to P\mathbb {R} ^{3}}

Không gian xạ ảnh[sửa|sửa mã nguồn]

Hệ tọa độ trắc địa[sửa|sửa mã nguồn]

Trên một đa tạp Riemann, một hệ tọa độ trắc địa tại một điểm

p

{\displaystyle p}

p được cho bởi ánh xạ bản đồ

E

exp

p


1

:
U

R

n

{\displaystyle E\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}

{\displaystyle E\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} với bất kỳ đẳng cấu

E
:

T

p

M

R

n

{\displaystyle E:T_{p}M\to \mathbb {R} ^{n}}

{\displaystyle E:T_{p}M\to \mathbb {R} ^{n}} nào. Nó cũng được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn.

Hệ tọa độ trong trắc địa, map[sửa|sửa mã nguồn]

Trong trắc địa và map, hệ tọa độ gồm có :

Hệ tọa độ thiên văn[sửa|sửa mã nguồn]

Trong thiên văn học, hệ tọa độ thiên văn là một hệ tọa độ mặt cầu dùng để xác lập vị trí biểu kiến của thiên thể trên thiên cầu. Có nhiều hệ tọa độ được dùng trong thiên văn .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.